2º ESO

         

   La semana del 12 al 16 de Marzo la vamos a dedicar a repasar lo visto durante todo el curso y a realizar las recuperaciones tanto del primer como del segundo trimestre. Os dejo un resumen ( muy esquemático de lo visto en el curso y las Fichas de ejercicios resueltos para que practiquéis...cualquier duda...lo vemos en clase...Practicad todos los días un poco, aunque sea hacer un par de ejercicios resueltos ( se que tenéis exámenes toda la semana, pero aprovechando el tiempo se puede hacer de todo un poco....ánimoo)

RECORDAD: Son sólo algunos ejercicios recopilados navegando por internet, así que encontraréis muchos más si os animáis A SURFEAR un poco.

Estas fichas son como apoyo, para que puedan ir practicando de forma más autónoma, esta semana deben usar las fichas ya que no pondré deberes para casa. No olvideis repasar la teoría y haceros esquemas.

Ficha 0 . Repaso:  
https://drive.google.com/open?id=1xXxdegCHvD4KWyBGo0jXN0I_yjn5FEi_

TEMA 1. DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS

DIVISIBILIDAD. Lo importante es saber descomponer un número en factores primos, calcular el MCD Y mcm de 2, 3, 4 ... números y conocer los criterios ( o reglas) de divisibilidad)

- La descomposición factorial la utilizaremos mucho, sobretodo para simplificar fracciones ( cuando un mismo número  aparece multiplicando arriba y abajo y decimos; el de arriba se va con el de abajo...)

 Ejemplo: 

 Con la descomposición de factores también  calculamos el Máximo Común Divisor (MCD) y el mínimo comúm múltiplo (mcm)

 - Para el MCD

 
En el m.c.m. tomaríamos comunes y no comunes al mayor exponente:

 En el ejemplo anterior tendríamos:  2 x 3²  x 5 = 90.



 - Tanto el MCD como el mcm serán usados para resolver problemas.

NÚMEROS ENTEROS. Tened cuidado con los números enteros porque cometéis muchos fallos con los signos en los exámenes.

 Lo que más tenéis que practicar son Operaciones combinadas con enteros.

 La regla de los signos según estemos sumando o restando

 

La regla de los signos dividiendo o multiplicando.

 



 Un signo negativo delante de un paréntesis cambia TODOS los signos dentro del paréntesis.


 

OPERACIONES COMBINADAS. Tenéis muchos ejemplos en las fichas y podeis haceros un esquema del Tema con los apuntes del libro, hacedlo en casa y lo vemos en clase

Ficha 1 . Repaso. T1: 

https://drive.google.com/open?id=13baOzk00Va_rET_VStvNgm7dEI-7EQ0u

 

TEMA 2.FRACCIONES Y DECIMALES

- Fracciones equivalentes, fracción irreducible, comparar y ordenar fracciones

- Sumar, restar, multiplicar, inversa ( si al multiplicarlas en htal el producto es 1)

- Potencia de una fracción, cociente, operaciones combinadas

- Expresión decimal (decir que tipo de decimal es por su denominador), fracción generatriz

- Aproximar números decimales, errores de aproximación.

- Problemas

Ficha 2 . Repaso. T2: 
- Fracciones
 https://drive.google.com/open?id=1wzFSNBTVgD8w_N0pEMx2cqsP8b5abQ8R

- Decimales ( en el apartado de 1eso tema 5 tenéis un resumen y fichas más fáciles)

https://drive.google.com/open?id=1dxHKKMbFxvMC2O2oZSySjJV_zVrYZgV6 

  TEMA 3 .POTENCIAS Y RAICES

1     1 .      Potencias de base entera y exponente natural

      2. 3. 4.  y 8. Operar con potencias de mismo exponente o misma base y de exponente entero (negativo)

    Teneís el esquema de clase, repasadlo

5. Notación científica, 

    Reglilla...a nivel muy general... si movemos la coma hacia la izqda. Sumamos al exponente y si vamos hacia la derecha, restamos al exponente

6. y 7. Raices cuadradas y cuadrados perfectos. (no entra el algoritmo de cálculo, solo por aproximación)

La raíz cuadrada es el proceso inverso de elevar al cuadrado, igual que dividir es lo contrario de multiplicar.

-          Para que una raíz sea exacta a= al cuadrado perfecto de un número

  Ejem √625 = 25         ¿Es exacta?

  Si porque 625 es 25*25, en este caso decimo que 625 es un cuadrado perfecto, su raíz cuadrada es exacta e igual a 25

                                               resultado : √625 = 25 

 ¿Qué ocurre si la raíz cuadrada no es exacta? Por ejemplo √38.

 No hay ningún número que multiplicado por el mismo me de como resultado 38. Buscamo entonces el cuadrado perfecto más cercano, sin pasarme de 38,

     6*6=36 ;     7*7=49 no vale porque me paso

  La raíz entera será 6 y resto 38-36=2  

                                                resultado : √38 = 6 resto 2

 

Importante ¿Existe la raíz cuadrada de un número negativo? 

No ¿Porqué? ¿Que numero negativo elevado al cuadrado da negativo si - * - siempre es +?

Sin embargo la raíz cuadrada de 25 es = 5, pero 25 puede haberse obtenido como 5*5 o (-5)*(-5), por eso decimos que la solución de una raíz exacta es +- 5

8. y 9 Repaso en el esquema: potencia de una fracción, raíz de una fracción y jerarquía de operaciones

10. Resolución de Problemas

 Ficha 3 . Repaso. T3: 

https://drive.google.com/open?id=1NXjJQfbaqHvbRCu_4h1FDbfqO0Lhe_ne 

 

TEMA 4.PROPORCIONALIDAD

RAZÓN  Y PROPORCION. 

   Ver Tema 6. 1º ESO

PROPORCIÓN DIRECTA. REPARTOS.

Tenemos que tener claro que estamos expresando la proporcionalidad como fracciones, que hemos visto que es parte del temario de 1 ESO. A modo de resumen:

Proporcionalidad directa. Es una amplificación, si multiplicamos por un número el numerador, debemos multiplicar por ese mismo número el denominador (hacemos todas las amplificaciones respecto a la 1era columna

		x3	x9	… x 15?
noches	1	3	9	15
Euros	45	45*3=135	45*9=405	45*15=

*¿Cómo los representamos en forma de fracción?               45/1=135/3=405/9…

*¿Qué pasa si dividimos cada numerador entre cada denominador?

Siempre es igual a 45, a este número lo llamamos… razón o constante de proporcionalidad y decimos que las dos magnitudes son directamente proporcionales

-          Para resolver problemas de este tipo

A)    Reducción a la unidad

Un autobús consume 22 l  cada 100km, ¿ cuantos consume en 25 km?

22/100 =0.22 l por km (anotar claramente las magnitudes)

25 * 0.22 = 5.5 litros

B)    Regla de tres simple

22 l  – 100 km

X l – 25 km     (25*22) / 100 = 5.5 l

Repartos directamente proporcionales. Depende de la cantidad que aporte cada uno

1) Calcular la razón r= N ( cantidad total) / (a+b+c+…)

2) Se multiplica r*a, r*b, r*c

Ejemplo1. Hacemos varias tartas entre 3 compañeros, para comprar ingredientes ana pone 10 euros, David 25 y marta 30, después vendemos las tartas por trozos en una fiesta y obtenemos 300 €. ¿Cómo repartimos ese dinero según lo que ha gastado cada uno?

Hay que hacer un reparto directamente proporcional

Total = 300€ / gastos ( 10 + 25 + 30) = 300 /65 = 4,62 es la razón de proporcionalidad, lo que le corresponde a cada uno por cada euro que gastó al principio… ¿ cuánto le damos a cada uno?

Ana: 4.62 * 10 =46.2              David: 4.62* 25= 115. 40       Marta: 4.62*30= 138.60

PORCENTAJES. APLICACIONES

Los porcentajes no son más que una razón entre dos magnitudes directamente proporcionales, en la que tenemos que indicar la cantidad que corresponde a una magnitud sabiendo que la otra es exactamente 100

Ejemplo 2. En una clase de 30 alumnos 18 practican algún deporte en equipo mientras que en la otra clase de 27 practican estos deportes solo 16 ¿En qué grupo hay más alumnos que realicen estos deportes?

Debemos expresarlo en porcentaje, teniendo en cuenta el total para poder compararlo más fácilmente. Fijaros que estamos haciendo una comparación sobre el total de cada clase

Lo que hacemos es una regla de tres simple

100--- 30                                                        100 --- 27

  X   ---18   (18*100) / 30 =60 %                          x  --- 16  (16*100) / 27 = 59,25 %

Aumento y disminución porcentual

¿Cómo utilizar los índices de variación de disminución 1- ( r/100) o  aumento1+ ( r/100) de una cantidad?

Nos sirven para calcular la cantidad final una vez aplicada un aumento o una disminución, lo utilizamos muchas veces sin darnos cuenta, por ejemplo…

Ejemplo 3. Ahora en rebajas nos compramos un ordenador que costaba 876 €, pero está rebajado un 23 %, que dinero tendremos que pagar… dejar unos minutos par que piensen y calculen:

876 * 23/100 = 876 * .23 = 201, 48 €

¿Pero eso es lo que pagamos o lo que tenemos que quitarle al precio? 876 – 201,48 = 674.52€ es lo que pagamos

¿Que pasa si lo que hacemos es directamente 876  [1 - (23 /100)]?

876 ( 1-.23) = 876 * . 77 = 674.52 € estamos pagando el 77 % del precio original

Porcentajes encadenados

Para aplicar sobre una misma cantidad varios porcentajes, calculamos los índices de variación y los aplicamos sucesivamente…

En el ejemplo anterior, que pasa si al pagar en caja nos aplican un 12 % del precio para que nos lo pongan a punto

La rebaja sabemos que es ( 1- 0.23) = 0. 77

Pero le añadimos  un 12 % sobre el precio, una vez rebajado..(1+ (12/100)) = 1.12

876 * .77 * 1.12 = 755.46 €

Cuidado¡¡¡ No podemos sumar o restar los porcentajes en este tipo de problemas porque no estamos aplicándolos al precio inicial 876 * 0.77 =674.62 y a ese precio le hacemos el 12 %

INVERSAMENTE PROPORCIONAL

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda dividida (o multiplicada) por el mismo número.

Si a un valor m1 de la primera magnitud le corresponde un valor m2 de la segunda magnitud, se puede comprobar que el producto de estos dos valores es siempre constante. A este producto se le llama constante de proporcionalidad inversa.

		x3	X5
noches	1	3	5
Euros	45	45:3=15	45:5=5

                                                  Razón de proporcionalidad: m1·m2 .

Regla de tres inversa

Una forma muy fácil de resolver una actividad de proporcionalidad inversa con la regla de tres.

Consiste en aprovechar la constante de proporcionalidad inversa para calcular el cuarto término. Se convierte en un procedimiento mecánico, que permite resolver de forma fácil cualquier actividad.

Reducción a la unidad

La reducción a la unidad, consiste en calcular el valor de la segunda magnitud correspondiente a la unidad de la primera. Este valor es la constante de proporcionalidad inversa.

A partir de aquí es más fácil calcular el valor final de la segunda magnitud.

  

PROPORCION COMPUESTA

1. Método de resolución POR REGLA DE 3

Explicaremos el método a medida que resolvemos el siguiente problema:

Si 6 niños comen 160 caramelos en 2 horas, ¿cuántas horas tardan 3 niños en comer 120 caramelos?

1. Distinguir las variables: En este caso
• (número de) niños
• (número de) caramelos
• (número de) horas

Una de las tres variables es la variable incógnita. En este caso nuestra variable incógnita es horas.

2. Estudiar el tipo de proporcionalidad de cada una de las variables con la variable incógnita. La relación entre las otras dos no debe preocuparnos. En este caso estudiamos la relación entre las variables niños y horas y las variables caramelos y horas:
• Niños-horas: cuantos más niños hay, menos horas tardan en comer los caramelos. Es una proporcionalidad inversa.
• Caramelos-horas: cuantos más caramelos hay, más horas tardan en comerlos. Es una proporcionalidad directa.
3. Escribimos los datos en una tabla:

Escribiremos la variable incógnita en la columna de la derecha e indicamos si se trata de una proporcionalidad directa (D) o inversa (I).

Tenemos que calcular el valor de la incógnita x

    4. Calculamos la regla de tres compuesta:

Escribimos las dos columnas de la izquierda como dos fracciones que se multiplican e igualamos con la columna derecha:

Importante:

• si es una proporcionalidad directa, escribimos la fracción tal y como la vemos en la tabla
•   si es una proporcionalidad inversa, escribimos la fracción inversa a la que vemos en la tabla

    5  Calculamos la incógnita x 

Por tanto, 3 niños tardan 3 horas en comer 120 caramelos.

   Ficha 4 . Repaso. T4:

https://drive.google.com/open?id=12SfSwSNUvOd8dzzTvuM9F3t9ge2TYr18

TEMA 5. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

         A modo de resumen:
        - El valor de una expresión algebraica. Sustituir el valor (es) de la variable (s) y obtener un resultado, que es el valor numérico del polinomio.
        - Para operaciones con monomios y polinomios, os recomiendo que volváis a hacer
       el esquema de clase, poniendo atención en las diferencias que hay entre cada ope-  
       ción y entre, operar con monomios o polinomios. Como reglilla general:
                       - Analizar la parte literal sabiendo que significa en cada caso
                       - Operar sobre los coeficientes (números con números). +,-, . ,:
                       - Operar sobre las variables (letras con letras). Propiedades de las poten-
       cias. Repasad el tema 3 y haceros un cuadro-esquema con estas propiedades
        - Identidades notables. Son sólo tres fórmulas, no os agobiéis...Haced ejercicios que
       os ayuden a reconocerlas. De la fórmula al desarrollo y del desarrollo a la fórmula
        - Operaciones combinadas con polinomios
        - Problemas para hallar áreas, utilizando polinomios

       Ficha 5 . T5:  ejercicios resueltos
       
       https://drive.google.com/open?id=169RBC6rTkAZE7Bs_vc8LhiIK_9Ju1d7D

       https://drive.google.com/open?id=1CknAmQcmYLqVt9k-XQ9jo44FlIZcKlOe
        

TEMA 6. ECUACIONES

Ya hemos empezado el Tema 6. Ecuaciones, habéis visto que es una Unidad cortita y muy sencilla porque los primeros puntos son de repaso y los tenéis DOMINADOSSS...Así que entrará como parte de la 2 evaluación y no tardaremos mucho en hacer el examen ( hemos puesto tarde el de la Unidad anterior para que tuvieseis más tiempo).

   En el punto 1, vemos la diferencia entre las denominadas igualdades ( dos polinomios separados por un igual...jjj) pero pueden ser:

 - Ecuación  cuando esta igualdad se verifica sólo para determinados valores. ¿Cuántos valores para cada ecuación? Sabéis que el mayor grado de la ecuación es lo que me determina el número de soluciones, así lineal..1 solución, cuadrada...2, cúbica...3.....hasta el infinito

 - En cambio para las identidades...se cumplen para infinitos valores de x (ya sabemos que finalmente lo que tenemos es que 1 = 1 , por eso se llaman IDENTIDAD) 

¿Cómo lo comprobamos?

  ¡¡ Muy sencillo, doy valores a  " x " !!!

x= 1, se cumple 20= 20, x = 2 se cumple 40=40,..., x= 100 también 2000 = 2000. Es normal, lo que tengo a un lado del igual es exactamente lo mismo que al otro..¿Y si cambio la expresión a lo siguiente?

     4x . 5x = 1620, ahora desarrollo la primera parte (producto de dos monomios)

      20 x² = 1620   , pasamo el 20 dividiendo y nos queda,   X² = 1620/20

     X² = 81           , ¿Cómo eliminamos el cuadrado? Pues con el proceso contrario, la raiz

     Así, por lo que vimos en la Unidad 3 y 4, sabemos que esta ecuación tiene dos soluciones únicas, una positiva y otra negativa (soluciones de la raiz, porque al estar el número dentro de la raiz al cuadrado, no sabemos si viene de una base positiva o negativa, recordad que esto solo ocurre si el radical de la raiz es par...)

    

    x= + y - √81 por lo tanto tiene dos soluciones únicas, x₁= + 9 y x₂=-9

 
   Aquí os dejo otras dos fichas de ejercicios resueltos...son solo para practicar para los exámenes, siempre lo prioritario son los ejercicios de clase y los ejercicios resueltos del libro. Ante cualquier duda, escribidme en el foro o lo vemos en clase

    Ficha 6 . T6: EJjercicios resueltos

    https://drive.google.com/open?id=1tmItn186tE2cWRStAJmqtDbCEyRxKqR6

       

     https://drive.google.com/open?id=1DTMFq9VGsT0sRNAEys2PYddD-aGxOls2

TEMA 7. SISTEMAS DE ECUACIONES

Vamos por un nuevo tema, ya os he comentado que es continuación del tema anterior y que con este tema se podrá recuperar el tema 6. Es un tema muy fácil y por eso lo veremos en poco tiempo, de hecho la teoría ya está practicamente vista.

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un sistema de ecuaciones formado por sólo dos ecuaciones que admite un cálculo muy simple, junto con el caso trivial de una ecuación lineal con una única incógnita, es el caso más sencillo posible de sistemas de ecuaciones, y que permiten su resolución empleando técnicas básicas del álgebra.

Una infinidad de problemas pueden ser resueltos con un sistema de dos ecuaciones. Veamos las distintas formas en las que se pueden encontrar sus soluciones. 

Tenemos 4 métodos de resolución, cuatro formas de llegar a la misma solución:

Os he puesto uno de los más complicados que podemos encontrarnos y está resuelto por los 3 métodos 

Método de sustitucion

1. Despejamos de la primera ecuación la x. Pero, primero, multiplicamos la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores y, de este modo, evitamos las fracciones.

2. Sustituimos en la segunda ecuación la x y resolvemos. Primero multiplicamos por el mínimo común múltiplo de los denominadores:

3. Sabiendo el valor de y, lo sustituimos en la ecuación que nos parezca más fácil:

4. Por tanto, la solución del sistema es

SOLUCIÓN POR IGUALACIÓN

1. Igual que antes, operamos para obtener ecuaciones más sencillas:

2. Despejamos en las dos ecuaciones la x o la y, la que nos sea más fácil:

3. Igualamos ambas expresiones y resolvemos la ecuación:

4. Sustituyendo en la primera de las ecuaciones anteriores:

5. Por tanto, la solución del sistema es

SOLUCIÓN POR REDUCCIÓN

1. Igual que en los métodos anteriores, simplificamos todo lo posible antes de empezar a aplicar los sistemas:

2. Multiplicamos la segunda por -1 ( queremos que los coeficientes de las x o las y, sean iguales y de signo contrario para que al sumar las ecuaciones la incognita desaparezca) y sumamos (siempre se SUMAN) las ecuaciones:

 

Hemos obtenido el valor de y

3. Sustituimos el valor de y en la primera ecuación y la resolvemos:

Por tanto, la solución del sistema es

Método Gráfico

La idea básica es "dibujar" ambas ecuaciones y hallar el punto en el que se cruzan. En este punto, los valores de “x” e “y” serán la solución del sistema de ecuaciones.   

1.  Resuelve ambas ecuaciones para hallar y. Manteniendo las dos ecuaciones por separado, utiliza tus conocimientos para despejar y en cada ecuación en la forma de “y = __x + __” Por ejemplo:

• La primera ecuación es 2x + y = 5. Cámbiala a y = -2x + 5.
• Tu segunda ecuación es -3x + 6y = 0. Factor común = 3, -x + 3y= 0. Luego despeja a y = 1/3 x + 0.

NOTA: Si ambas ecuaciones son idénticas, toda la línea será una “intersección”. Escribe las soluciones infinitas.

2. Dibuja los ejes de las coordenadas. En una hoja de papel cuadriculada dibuja un “eje y” vertical y un “eje x” horizontal. Comenzando en el punto donde se cruzan, etiqueta los números 1, 2, 3, 4, etc. moviéndote hacia arriba en el eje “y” y hacia la derecha en el eje “x”. Etiqueta los números -1, -2, etc. moviéndote hacia abajo en el eje “y” y hacia la izquierda en el eje “x”.

• Si no tienes papel cuadriculado, utiliza una regla para asegurarte de que los números estén espaciados con precisión.
• Si utilizas número grandes o decimales, es posible que necesites modificar la escala de tu gráfico (por ejemplo: 10, 20, 30 o 0,1; 0,2; 0,3 en lugar de 1, 2, 3).

3. Dibuja la intersección de “y” para cada línea. Una vez que tengas una ecuación en la forma y = __x + __, puedes comenzar a graficarla, vamos dando valores a x, los que queramos, y hallamos su correspondiente y. El punto x, se representa en nuestro eje

 Normalmente usamos X=0, x=1, soluciones sencillas de la ecuación. Con representar dos puntos es suficiente

4.Continúa trazando las líneas hasta que se crucen. Detente y mira el gráfico. Si las líneas ya se han cruzado, pasa directamente al siguiente paso. De lo contrario, toma una decisión en base a lo que hacen las líneas:

• Si las líneas se mueven la una hacia la otra, sigue trazando los puntos en esa dirección.
• Si las líneas se alejan la una de la otra, retrocede y traza los puntos en la otra dirección comenzando en x=-1.
• Si las líneas están muy lejos entre sí, trata de trazar puntos más distantes, como en x = 10.

5.  Halla la respuesta en la intersección. Una vez que las dos líneas se crucen, los valores de “x” e “y” en ese punto son la respuesta a tu problema. Si tienes suerte, la respuesta será un número entero. Por ejemplo, en nuestros ejemplos, las dos líneas se cruzan en (2,1) así que la respuesta es x = 2 e y = 1. En algunos sistemas de ecuaciones, las líneas se cruzarán en un valor ubicado entre dos números enteros y, a menos que tu gráfico sea extremadamente preciso, será más difícil determinar dónde se encuentra esta intersección. Si esto sucede, puedes escribir una respuesta como "x se encuentra entre 1 y 2" o dar un valor aproximado.

Ejemplo de resolución:

Ficha 7 . T7: EJjercicios resueltos.

https://drive.google.com/open?id=1v4BzamqUCr4-Dn-EjIpojh_Et_GzO2hc

En el primero no está el método gráfico en la segunda ficha hay de todo, las soluciones están al final

https://drive.google.com/open?id=1tmPQRrM1_sHZ2-NXqyqKFoKGtnp888u-

TEMA 8. FUNCIONES

Os dejo los ejercicios del tema de funciones, recordad que lo importante son las funciones lineales, y = mx+n (incluidas las de proporcionalidad directa- y=mx - y las de pendiente constante  y = constante) y el estudio gráfico de la parábola 

ax²+ bx+c= y

1.       Con el signo de a (coeficiente de la x²) sabemos:

        a >     0 (+) Contenta   = Minimo

a < 0 (-) Triste        = Máximo

2.       Corte con los ejes

OX à La y=o, solucionamos la ecuación ax²+ bx+c= 0

Podremos obtener ninguna, 1 o dos soluciones, que nos darán los puntos sobre el eje OX

A( X₁,0) y B( X₂,0)

OYà La X=o, sustituimos el valor de x en la ecuación ax²+ bx+c= y

Podremos obtener ninguna o 1 solución, que nos darán los puntos sobre el eje OY

C( 0, y)

3.       Vértice. También es un punto V= (x_v,y_v)

Xv= -b / 2a, el valor que obtengamos lo sustituimos en la ecuación ax²+ bx+c= y_v. Obtemos la y del vértice

EJERCICIOS RESUELTOS

https://drive.google.com/open?id=1OSXKLpIdtdQxS0fL5yg_Ad-akqBakUm6



     Buenas,ya se ha terminado el curso y espero que paséis un buen verano, así que ahora a descansar

     A los que os haya quedado Mates, tendréis que repasar un poco en verano, pero no os preocupeis

    que seguro que en septiembre, aprovais, si haceis un esfuerzo estos meses.

    Con las notas se os ha pedido un cuadernillo, estará disponible en la Web del IES Alvareda, pero
    en cuanto los cuelguen, yo lo pondré en esta página.


    CUADERNILLO DE VERANO IES ALVAREDA. Lo tenéis que entregar el día del examen junto
    con los libros que se os haya prestado.

Tenéis los cuadernillos de todos los cursos en la Página Web del IES en un apartado que aparece a la izquierda con el nombre Septiembre 2017-2018... y aquí el de Segundo...

https://drive.google.com/open?id=1tpawjdtGz4Ug9_O9v7VpVgePJxSlniY-